Планиметрия, часть с
Содержание:
- Основные формулы для профильного ЕГЭ
- Дробно рациональные уравнения
- Электричество и магнетизм
- Теория к заданию 4 из ЕГЭ по математике (профильной)
- Противоположные события
- Независимые события
- Несовместные события
- Совместные события
- Тригонометрические тождества
- Формулы по базовой математике для ЕГЭ
- Задача №17, экономическая
- Геометрия в пространстве (стереометрия)
- Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения
- Логарифмические уравнения
- Какие формулы необходимы для сдачи ЕГЭ по профильной математике?
- Геометрия на плоскости (планиметрия)
- Молекулярная физика и термодинамика
- Оптика
- Несовместные события
- Применение формул сокращенного умножения
- Метод группировки
- Особенности уровней ЕГЭ по математике
Основные формулы для профильного ЕГЭ
Выпускники, планирующие сдавать профиль, ставятся в более жесткие условия, чем те, кто выбрал базовый уровень. Учитывая то, что они видят перспективу своего дальнейшего обучения по направлениям, тесно или напрямую связанным с математикой, к их знаниям предъявляются повышенные требования. В частности, на официальные справочные материалы особенно рассчитывать не приходится. Все, что в них есть, это 5 тригонометрических тождеств.
Основываясь на данных, опубликованных на сайте ФИПИ, с большой долей вероятности потребуется знание следующих формул для сдачи ЕГЭ по профильной математике:
- правила сокращенного умножения;
- арифметическая и геометрическая прогрессии;
- основы вероятностной теории;
- свойства степеней и логарифмов;
- азы тригонометрии (формулы двойного угла, суммы и разности аргументов; алгоритм преобразования разности и суммы в произведение; обратные функции);
- производная (правила дифференцирования, элементарнее функции и уравнение касательной);
- первообразная;
- двухмерная планиметрия;
- правила нахождения площадей геометрических фигур;
- трехмерная стереометрия.
Опытные учителя и репетиторы собрали все формулы по математике, которые приходилось использовать на ЕГЭ в последние три года:
- ЕГЭ по математике – формулы для алгебры и начал анализа
- Формулы ЕГЭ – математика, раздел геометрия
Материалы для скачивания – в формате pdf.
Выученные назубок формулы к ЕГЭ по математике – это только часть пути к успешной сдаче, надо еще научиться правильно применять их. Хорошую практику даст решение сложных задач.
Дробно рациональные уравнения
- Если дробь равна нулю, то числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
- Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно-рациональным.
Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:
- Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
- Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- Решить получившееся целое уравнение;
- Исключить из его корней те, которые не удовлетворяют условию ОДЗ.
Если в уравнении участвуют две дроби и числители их равные выражения, то знаменатели можно приравнять друг к другу и решить полученное уравнение, не обращая внимание на числители. НО учитывая ОДЗ всего первоначального уравнения
Электричество и магнетизм
Электрическое поле
Сила Кулона: | `F=k(q_1*q_2)/r^2` |
Поле точечного заряда: | `E=kq/r^2` | |
Сила, действующая на заряд в эл.поле: | `F=q*E` | |
Потенциал поля: | `varphi=W/q` | где `W` — потенциальная энергия заряда в поле |
Работа по перемещению заряда: | `A=DeltaW=qDeltavarphi=qU` | |
Напряжение в однородном поле: | `U=Ed` | |
Ёмкость конденсатора (любого): | `C=q/U` | |
Ёмкость плоского конденсатора: | `C=(epsilonepsilon_0S)/d` | |
Параллельное соединение конденсаторов: | `C_(общ)=C_1+C_2+…` | |
Последовательное соединение конденсаторов: | `1/C_(общ)=1/C_1+1/C_2+…` | |
Энергия конденсатора: | `W_c=(CU^2)/2=(qU)/2=q^2/(2C)` |
Постоянный ток
Сила тока: | `I=(Deltaq)/(Deltat)` | |
Переменный ток: | `I(t)=q'(t)` | |
Сопротивление: | `R=rhol/S` | где `rho` — удельное сопротивление |
Закон Ома для участка цепи: | `I=U/R` | |
Закон Ома для полной цепи: | `I=varepsilon/(R+r)` | |
Параллельное соединение проводников: | `1/R=1/R_1+1/R_2+…` | |
`R=(R_1*R_2*…)/(R_1+R_2+…)` | ||
`I=I_1+I_2+…` | ||
`U=U_1=U_2=…` | ||
Последовательное соединение проводников: | `R=R_1+R_2+…` | |
`I=I_1=I_2=…` | ||
`U=U_1+U_2+…` | ||
Мощность тока: | `P=UI=I^2R=U^2/R` | |
Закон Джоуля-Ленца: | `Q=I^2Rt` |
Электромагнитная индукция:
Магнитный поток: | `Ф=BScosalpha` |
Закон электромагнитной индукции: | `varepsilon_i=-(DeltaФ)/(Deltat)=-Ф’_t` |
ЗДС в движущемся проводнике: | `varepsilon_i=Blvsinalpha` |
Индуктивность: | `L=Ф/I` |
ЭДС самоиндукции: | `varepsilon_(si)=-L(DeltaI)/(Deltat)=-LI’_t` |
Энергия катушки с током: | `W_L=(LI^2)/2` |
Электромагнитные колебания и волны:
`q(t)=q_0sin(omegat+varphi_0)` |
`I(t)=q'(t)=q_0omegacos(omegat+varphi_0)=I_0cos(omegat+varphi_0)` |
Формула Томсона: | `T=2pisqrt(LC)` |
`omega=(2pi)/T=1/sqrt(LC)` | |
Скорость электромагнитной волны: | `c=lambdanu` |
Теория к заданию 4 из ЕГЭ по математике (профильной)
Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов
$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.
Вероятность события — это число из отрезка $$
В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.
Решение:
Найдем количество желтых автомобилей:
$50-35=15$
Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$,
следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$
Ответ:$0,3$
Противоположные события
Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}{-}$.
$Р(А)+Р{(А)}{-}=1$
Независимые события
Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.
Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.
Решения:
Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.
Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.
События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
$Р=0,15·0,12=0,018$
Ответ: $0,018$
Несовместные события
Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)
Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
$Р = 0,3+0,18=0,48$
Ответ: $0,48$
Совместные события
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.
Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$
В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.
Решение:
Обозначим события, пусть:
$А$ = кофе закончится в первом автомате,
$В$ = кофе закончится во втором автомате.
Тогда,
$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,
$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.
События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий,
уменьшенной на вероятность их произведения:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
Ответ: $0,88$
Тригонометрические тождества
- $tgα={sinα}/{cosα}$
- $ctgα={cosα}/{sinα}$
- $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
$sinα=±√{1-cos^2α}$
$cosα=±√{1-sin^2α}$
- $tgα·ctgα=1$
- $1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
- $1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$
Вычислить $sin t$, если $cos t = {5}/{13} ; t ∈({3π}/{2};2π)$
Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈({3π}/{2};2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус
$sint=-√{1-cos^2t}=-√{1-{25}/{169}}=-√{{144}/{169}}=-{12}/{13}$
Формулы суммы и разности
$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$
$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$
$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$
$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$
Формулы произведения
$cosα·cosβ={cos(α-β)+cos(α+β)}/{2}$
$sinα·sinβ={cos(α-β)-cos(α+β)}/{2}$
$sinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/{2}$
Формулы сложения
$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$
$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$
$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$
$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$
Вычислить $sin12cos18+cos12sin18$
Данное выражение является синусом суммы
$sin12cos18+cos12sin18= sin(12+18)=sin30=0.5$
Задача (Вписать в ответ число)
Вычислить $sin{5π}/{12} cos {π}/{12}+cos {π}/{12} sin {5π}/{12}$
Решение:
Данное выражение является синусом суммы
$sin {5π}/{12} cos {π}/{12}+cos {π}/{12} sin {5π}/{12}=sin({π}/{12}+{5π}/{12})=sin {6π}/{12}=sin {π}/{2}=1$
Ответ: $1$
Формулы по базовой математике для ЕГЭ
Разработчики КИМ считают, что для решения задач математики ЕГЭ базового уровня достаточно знания формул, представленных в справочных материалах – они выдаются на экзамене в индивидуальном комплекте вместе с КИМ. В «официальную шпаргалку», которой можно пользоваться во время проведения ЕГЭ, входят:
- таблица квадратных чисел от 0 до 99;
- свойства арифметического квадратного корня;
- формулы сокращенного умножения;
- корни квадратного уравнения;
- свойства степени и логарифма;
- теорема Пифагора;
- формула расчета длины окружности и площади круга;
- расчет средней линии треугольника и трапеции;
- радиус вписанной и описанной окружности правильного треугольника;
- формулы расчета площади планиметрических фигур;
- вычисление поверхностей и объемов тел;
- основные тригонометрические функции и тождества;
- график линейной функции;
- геометрический смысл производной.
Понять, нужны ли еще какие-то формулы для ЕГЭ по математике, поможет решение тренировочных тестов, например, содержащихся в открытом банке заданий на сайте ФИПИ. Для подстраховки можно изучить КЭС (кодификатор элементов содержания), актуальный в текущем учебном году. В нем перечислены все темы, которые выносятся на экзамен.
Задача №17, экономическая
Стандартное начало условия:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на `color(green)(r%)`.
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Основная идея решения:
- каждый месяц (15-го числа) долг должен уменьшаться на одну и ту же величину, т.е. на `1/n` часть изначального долга, т.е. на `color(blue)(S/n)`
- каждый месяц (1-го числа) банк увеличивает остаток долга на `color(green)(r%)`.
- каждый месяц (2-14-го числа) клиент выплачивает начисленные проценты (пункт 2) и ежемесячную часть долга (пункт 1).
Составляем таблицу платежей по месяцам:
Взятие кредита: | |
15 декабря: | Долг = `S` рублей. |
1-й месяц: | |
1 января | Банк начисляет проценты = `color(green)(S*r)` |
Долг = `S + color(green)(S*r)` | |
2-14 января | Платим `color(green)(S*r) + color(blue)(S/n)` |
Долг = « `– [ color(green)(S*r) + color(blue)(S/n) ] = S-color(blue)(S/n) = (n-1)/n*S` | |
2-й месяц: | |
1 февраля | Банк начисляет проценты = `color(green)(obrace((n-1)/n*S)^(«Предыд.долг»)*r)` |
Долг = `(n-1)/n*S+` `color(green)((n-1)/n*S*r)` | |
2-14 февраля | Платим `color(green)((n-1)/n*S*r)+` `color(blue)(S/n)` |
Долг = `[(n-1)/n*S +` `color(green)((n-1)/n*S*r)]–` `[color(green)((n-1)/n*S*r)+` `color(blue)(S/n)]=` `(n-1)/n*S — color(blue)(S/n)=` `(n-2)/n*S` | |
3-й месяц: | |
1 марта | Банк начисляет проценты = `color(green)((n-2)/n*S*r)` |
Долг = `(n-2)/n*S + color(green)((n-2)/n*S*r)` | |
2-14 марта | Платим `color(green)((n-2)/n*S*r) + color(blue)(S/n)` |
Долг = `[(n-2)/n*S + color(green)((n-2)/n*S*r)] – [color(green)((n-2)/n*S*r) + color(blue)(S/n)] = (n-2)/n*S — color(blue)(S/n) = (n-3)/n*S` | |
(n-1)-й месяц: | Остаток долга = `2/n*S` |
1 мартобря | Банк начисляет проценты = `color(green)(2/n*S*r)` |
Долг = `2/n*S + color(green)(2/n*S*r)` | |
2-14 мартобря | Платим `color(green)(2/n*S*r) + color(blue)(S/n)` |
Долг = `[2/n*S + color(green)(2/n*S*r)] – [color(green)(2/n*S*r) + color(blue)(S/n)] = 2/n*S — color(blue)(S/n) = 1/n*S` | |
n-й месяц: | Остаток долга = `1/n*S` |
1 апребря | Банк начисляет проценты = `color(green)(1/n*S*r)` |
Долг = `1/n*S + color(green)(1/n*S*r)` | |
2-14 апребря | Платим `color(green)(1/n*S*r) + color(blue)(S/n)` |
Долг = `[1/n*S + color(green)(1/n*S*r)] – [color(green)(1/n*S*r) + color(blue)(S/n)] = 1/n*S — color(blue)(S/n) = 0` |
Геометрия в пространстве (стереометрия)
Главная диагональ куба:
Объем куба:
Объём прямоугольного параллелепипеда:
Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):
Объём призмы:
Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):
Объём кругового цилиндра:
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:
Объём пирамиды:
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):
Объем кругового конуса:
Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:
Длина образующей прямого кругового конуса:
Объём шара:
Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):
Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения
Арккосинус
Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $$, косинус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t ⇔ \{\table \cos (t)=a; \0≤t≤π;$
$arcos(-a) = π-arccosa$, где $0≤а≤1$
Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение
$t=±arccos a+2πk; k∈Z$
Частные случаи
$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$
$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$
$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$
Найдите наименьший положительный корень уравнения $сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
$сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
${2πx}/{3}=±arccos(-{√3}/{2})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-arccos{√3}/{2})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-{π}/{6})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±{5π}/{6} +2πk;kϵZ$
Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на ${2π}/{3}$
$x=±{5π·3}/{6·2π} +{2π·3}/{2π}k$
$x=±1,25+3k$
Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо $k$ целые значения
$k=0$
$x_1= -1,25$
$x_2=1,25$
$к=1$
$х_1=3-1,25=1,75$
$х_2=3+1,25=4,25$
Нам подходит $1,25$ – это и есть результат
Ответ: $1,25$
Арксинус
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t ⇔ \{\table \sint=a; \-{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$
Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:
$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$
$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$
$2. t=(-1)^n arcsin a+πn; n∈Z$
$3.$ Частные случаи
$sin t = 0, t=πk;k∈Z$
$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$
$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$
Арктангенс
$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а$.
$arctg a = t ⇔ \{\table \tgt=a; \-{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arctg(-a)= — arctg a$
Логарифмические уравнения
Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$, где $а$ – положительное число, отличное от $1$, и уравнения, сводящиеся к этому виду.
Для решения логарифмических уравнений необходимо знать свойства логарифмов: все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.
1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:
$log_{а}b^m=mlog_{a}b;$
$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b.$
$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$
Пример:
$log_{3}3^{10}=10log_{3}3=10;$
$log_{5^3}7={1}/{3}log_{5}7;$
$log_{3^7}4^5={5}/{7}log_{3}4;$
2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.
$log_a(bc)=log_{a}b+log_{a}c$
3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию
$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$
4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания
$log_{a}b∙log_{c}d=log_{c}b∙log_{a}d$, если $a, b, c$ и $d > 0, a≠1, b≠1.$
5. $c^(log_{a}b)=b^{log_{a}b}$, где $а, b, c > 0, a≠1$
6. Формула перехода к новому основанию
$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$
7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение
$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$
Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:
— Простейшие логарифмические уравнения: $log_{a}x=b$. Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. $x=a^b$ и $х > 0$
Пример:
$log_{2}x=3$
Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$
$log_{2}x=log_{2}2^3$
Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.
$x = 8$
Ответ: $х = 8$
— Уравнения вида: $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$. Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения и учитываем ОДЗ:
$\table\{\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$
Пример:
$log_{3}(x^2-3x-5)=log_{3}(7-2x)$
Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения
$x^2-3x-5=7-2x$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые
$x^2-x-12=0$
$x_1=4,x_2= -3$
Проверим найденные корни по условиям $\table\{\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$
При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень
Ответ: $х=-3$
Метод замены переменной.
В данном методе надо:
- Записать ОДЗ уравнения.
- По свойствам логарифмов добиться того, чтобы в уравнении получились одинаковые логарифмы.
- Заменить $log_{a}f(x)$ на любую переменную.
- Решить уравнение относительно новой переменной.
- Вернутся в п.3, подставить вместо переменной значение и получить простейшее уравнение вида: $log_{a}x=b$
- Решить простейшее уравнение.
- После нахождения корней логарифмического уравнения необходимо поставить их в п.1 и проверить условие ОДЗ.
Пример:
Решите уравнение $log_{2}√x+2log_{√x}2-3=0$
Решение:
1. Запишем ОДЗ уравнения:
$\table\{\ х>0,\text»так как стоит под знаком корня и логарифма»;\ √х≠1→х≠1;$
2. Сделаем логарифмы по основанию $2$, для этого воспользуемся во втором слагаемом правилом перехода к новому основанию:
$log_{2}√x+{2}/{log_{2}√x}-3=0$
3. Далее сделаем замену переменной $log_{2}√x=t$
4. Получим дробно — рациональное уравнение относительно переменной t
$t+{2}/{t}-3=0$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $t$.
${t^2+2-3t}/{t}=0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$t^2+2-3t=0$, $t≠0$
5. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
$t^2-3t+2=0$
$t_1=1; t_2=2$
6. Вернемся в п.3, сделаем обратную замену и получим два простых логарифмических уравнения:
$log_{2}√x=1$, $log_{2}√x=2$
Прологарифмируем правые части уравнений
$log_{2}√x=log_{2}2$, $log_{2}√x=log_{2}4$
Приравняем подлогарифмические выражения
$√x=2$, $√x=4$
Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат
$х_1=4$, $х_2= 16$
7. Подставим корни логарифмического уравнения в п.1 и проверим условие ОДЗ.
$\{\table\ 4 >0; \4≠1;$
Первый корень удовлетворяет ОДЗ.
$\{\table\ 16 >0; \16≠1;$ Второй корень тоже удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $4; 16$
Уравнения вида $log_{a^2}x+log_{a}x+c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению. После того, как корни уравнения будут найдены, надо отобрать их с учетом ОДЗ.
Какие формулы необходимы для сдачи ЕГЭ по профильной математике?
Помимо очевидного, что для сдачи профиля нужно уметь складывать, вычитать и умножать, необходимы еще некоторые знания. Все это проходится в течение школы, но повторить или заполнить пробелы перед экзаменом нужно обязательно. Вот, что пригодится:
- Формулы сокращенного умножения;
- Арифметическая и геометрическая прогрессии;
- Вероятность;
- Свойства степеней;
- Свойства логарифмов;
- Тригонометрия;
- Производные;
- Первообразные.
Список внушительный, но вполне реальный, чтобы его выучить. Для того, чтобы лишний раз не гуглить в интернете «формулы для ЕГЭ по математике профильный уровень», приложим их ниже. А начнем по порядку из списка выше.
Формулы сокращённого умножения
Первые в нашем списке – формулы сокращенного умножения – нужны для решения задания №9 из профильного уровня. Вам встретятся задачи на преобразование выражений, поэтому умение это делать будет вознаграждено баллами.
Вот то, что будет вашим спасательным кругом:
Есть те, которые знать не обязательно. Но чем большими знаниями вы будете обладать, тем легче вам будет на экзамене. Вот они:
Умея применять эти формулы для ЕГЭ по математике, профильный уровень вам уже будет решить легче. Но это далеко не все, что нужно знать, чтобы получить сто баллов за ЕГЭ.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Для задания №19 нужно знание арифметической и геометрической прогрессии. Прикладываем формулы для ЕГЭ по математике, профильный уровень которой невозможен без их знания:
Вероятность
Вероятность встречается в задании №4, а ведь в самом начале обычно ставят легкие задания. Тем не менее, придется применять знания, которые представлены ниже:
Перейдем к свойствам степеней, ведь в них тоже есть, что запомнить.
Свойства степеней
Эти свойства нужно знать и для того, чтобы решить «базу», так что гуманитарии тоже могут обратить внимание на это:
Как вы видите, запоминать не очень много, зато формулы не самые простые. Но есть еще сложнее, и сейчас узнаем, какие они.
Формулы логарифмов лучше всего начать с их определения:
Теперь перейдем к более сложному:
Тригонометрия
Тригонометрические уравнения встречаются в задании №13. Для того, чтобы заработать баллы, нужно знать это:
Но это еще не все. Есть такая вещь, как основное тригонометрическое тождество. Вот оно:
Формулы двойного угла:
Формулы суммы и разности аргументов:
Преобразование суммы и разности в произведение:
Формулы половинного аргумента:
На этом с тригонометрией все.
Производные
Начнем с основных правил дифференцирования:
Уравнение касательной:
Производные элементарных функций:
Закончим эту статью первообразными.
Геометрия на плоскости (планиметрия)
Пусть имеется произвольный треугольник:
Тогда, сумма углов треугольника:
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:
Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:
Формула Герона для площади треугольника:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности:
Формула медианы:
Свойство биссектрисы:
Формулы биссектрисы:
Основное свойство высот треугольника:
Формула высоты:
Еще одно полезное свойство высот треугольника:
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
Площадь правильного треугольника:
Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):
Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:
Длина средней линии трапеции:
Площадь трапеции:
Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:
Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
Площадь квадрата через длину его стороны:
Площадь квадрата через длину его диагонали:
Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):
Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:
Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):
Свойство касательных:
Свойство хорды:
Теорема о пропорциональных отрезках хорд:
Теорема о касательной и секущей:
Теорема о двух секущих:
Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):
Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):
Свойство центральных углов и хорд:
Свойство центральных углов и секущих:
Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:
Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
Сумма углов n-угольника:
Центральный угол правильного n-угольника:
Площадь правильного n-угольника:
Длина окружности:
Длина дуги окружности:
Площадь круга:
Площадь сектора:
Площадь кольца:
Площадь кругового сегмента:
Молекулярная физика и термодинамика
Молекулярная физика
Средняя кинетическая энергия молекул | `bar E_к=3/2kT` | Здесь и далее рассматриваем только идеальный одноатомный газ |
Давление газа: | `p=nkT` | |
Уравнение Менделеева-Клайперона: | `pV=nuRT` | |
Количество вещества в молях: | `nu=m/M=N/N_A` | M — молярная масса, берём её из таблицы Менделеева, не забываем переводить в кг/моль |
Внутренняя энергия: | `U=3/2nuRT` | |
Закон Дальтона для смеси: | `p=p_1+p_2+…` | |
Относительная влажность: | `varphi=p_(парц)/p_(насыщ)=rho_(парц)/rho_(насыщ)` | См. также таблицу давления и плотности насыщенного водяного пара |
Уравнение теплобаланса: | `Q_1+Q_2+Q_3+…=0` | `Q>0` в процессах, где теплота выделяется, и `Q |
Термодинамика
`Q=cmDeltaT` | где `с` — удельная теплоёмкость |
`Q=lambdam` | где `lambda` — удельная теплота плавления |
`Q=rm` | где `r` — удельная теплота парообразования |
`Q=qm` | где `q` — удельная теплота сгорания |
Первое начало термодинамики: | `Q=DeltaU+A` | |
Работа газа в любом термодинамическом процессе — это площадь под pV-графиком | `A=int_1^2pdV`(формулу запоминать не обязательно) | |
Работа в изобарном процессе: | `A=p*DeltaV` | |
Работа газа всегда связана с изменением объёма: | `Vuarr rArr A>0«Vdarr rArr A`V=const rArr A=0` | |
Работа внешних сил над газом: | `A_(внеш.сил)=-A_(газа)` | |
КПД: | `eta=A_(цикл)/Q_н=(Q_н-Q_х)/Q_н` | |
Машина Карно: | `eta=(T_н-T_х)/T_н` |
Оптика
Прохождение границы двух сред:
Закон отражения: | `alpha=gamma` | |
Показатель преломления: | `n=c/v` | |
Закон преломления: | `sinalpha/sinbeta=n_2/n_1` | |
`nu_1=nu_2` | ||
`n_1lambda_1=n_2lambda_2` |
Линзы:
Оптическая сила линзы: | `D=1/F` | где F — фокусное расстояние |
Формула тонкой линзы: | `1/F=1/d+1/f` | где d — расстояние от линзы до предмета, f — от линзы до изображения |
Каждое слагаемое может входить в формулу со знаком плюс или минус:`+1/F` для собирающей линзы`-1/F` для рассеивающей линзы `+1/d` для действительного предмета`-1/d` для мнимого предмета (построенного другой оптической системой)`+1/f` для действительного изображения`-1/f` для мнимого изображения |
||
Линейное увеличение: | `Г=h/H=f/d` | где H — высота предмета, h — высота изображения |
Волновая оптика:
Условие максимумов интерференции: | `Deltad=klambda, kinZZ` |
Условие минимумов интерференции: | `Deltad=(2k+1)lambda/2, kinZZ` |
Формула дифракционной решётки: | `dsinvarphi=klambda, kinZZ` |
Несовместные события
Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)
Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
$Р = 0,3+0,18=0,48$
Ответ: $0,48$
Применение формул сокращенного умножения
1. Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе число и плюс квадрат второго числа.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
3. Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму.
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа.
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
5. Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа.
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
6. Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности.
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
7. Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы.
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Метод группировки
Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.
Пример:
Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$
Решение:
Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак + и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками. $2a^3-a^2+4a-2=(2a^3-a^2)+(4a-2)$
$2a^3-a^2+4a-2=(2a^3-a^2)+(4a-2)$
Далее из каждой группы вынесем общий множитель
$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$
После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.
$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$
Произведение данных скобок — это конечный результат разложения на множители.
Особенности уровней ЕГЭ по математике
В 2015 году ЕГЭ по математике разделили на базовый и профильный уровни. Это упростило жизнь выпускникам, которые не планируют поступать на специальности, связанные с математикой. Если ЕГЭ по математике нужен только для получения аттестата, можно сдать его облегченную версию, оставив время и силы для профильных экзаменов.
Базовый уровень ЕГЭ по математике
Как устроен базовый ЕГЭ по математике? Экзамен идет 180 минут, он состоит из 21 задания, за каждое из которых можно получить 1 балл. Этот экзамен единственный, который переводится не в 100-бальную систему, а в оценки.
Пока перевод баллов ЕГЭ по математике базового уровня в оценки не опубликован ФИПИ, но мы добавим его в статью, как только появится официальная информация.
В ЕГЭ по математике базового уровня 6 тематических блоков:
Тематические блоки, ЕГЭ по математике 2022, базовый уровень
Подробнее про базовый ЕГЭ по математике, включая разбор всех заданий, читайте здесь, а мы перейдём к профильному.
Профильный уровень ЕГЭ по математике
Данный экзамен, как и остальные ЕГЭ, переводится в 100-бальную систему.
Пока перевод баллов ЕГЭ по математике профильного уровня в 100-бальную систему пока не опубликован ФИПИ. Мы добавим его в статью, как только появится официальная информация.
Экзамен состоит из двух частей: Часть 1 с кратким ответом, а Часть 2 — с развернутым. Длится он 235 минут. Всего есть 18 заданий, которые разделены на 3 блока: алгебра, геометрия и реальная математика. Максимальное количество первичных баллов — 31.